Moto accelerato

In risposta alla domanda di un nostro lettore cercherò di fare chiarezza su uno dei concetti più semplici e più studiati nella fisica: il moto di un punto.

Come spesso accade in questa materia si procede per semplificazioni; vista la difficoltà di seguile le evoluzioni di un oggetto esteso ci concentriamo su un unico punto, detto punto materiale, (un ente fittizio, senza dimensione) che si muove lungo una linea retta. La situazione è ovviamente idealizzata ma ci permette di iniziare ad affrontare il tema con una certa semplicità.

Come prima cosa dobbiamo fissare un sistema di coordinate, per consuetudine chiamerò “x” la posizione del punto lungo la nostra retta e “t” l’istante di tempo in cui questa viene misurata. In termini matematici questo si indica con

x=x(t)

che mette in chiaro la dipendenza dello spazio dal tempo.

A questo punto si può procedere in vari modi, qui ne esporrò brevemente due: uno più semplice, dove le formule saranno solo introdotte e spiegate; e uno un po’ più tecnico in cui verranno ricavate. Alla fine tratteremo il caso semplice di un corpo in caduta libera.
1. Approccio semplice

La formula di prima, x=x(t), non chiarisce in modo esplicito il legame tra posizione e tempo. Per procedere lungo questa via bisogna introdurre altre due funzioni. La velocità – “v” – cioè la varizione dello spostamento nel tempo (in quanto tempo percorro un determinato spazio); e l’accelerazione – “a” – la variazione della velocità nel tempo, in formule

v=dx(t)/dt; a=dv(t)/dt

dove la lettera “d” indica la variazione.

Ora possiamo scrivere le nostre equazioni:

x(t)=x(0)+v*t (1.1)

rappresenta un moto uniforme, il corpo parte dalla posizione x(0) – la posizione al tempo zero – e prosegue con velocità uniforme “v”. Il grafico di questo moto è una retta di pendenza “v”.

x(t)=x(0)+v(0)*t+0.5*a*t^2 (1.2)

Questo è invece il moto uniformemente accelerato, con v(0) come velocità iniziale. In questo caso il grafico è un pezzo di parabola.

2. Approccio più tecnico

Raffiniamo le nostre prime definizioni di “v” ed “a”:

v(t)=dx(t)/dt=x’(t) è la derivata prima della posizione
a(t)=dv(t)/dt=dx’(t)/dt=x”(t) è la derivata seconda della posizione

Se la funzione a(t) è costante per ricavare la posizione mi basta fare due semplici integrali – l’operatore inverso alla derivata.

x(t)=∫∫(a)dt = ∫(a*t+k1)dt=0,5*a*t^2+k1*t+k2

Le costanti di integrazione k1 e k1 possono essere espresse dalla velocità e dalla posizione in un istante definito, per esempio t=0. L’equazione che otteniamo e proprio quella del moto accelerato.

x(t)=x(0)+v(0)*t+0.5*a*t^2 (2.1)

3. Caduta libera

Adesso analizzeremo a titolo esemplificativo una situazione molto comune, quella dei corpi sottoposti solamente alla forza gravitazionale – F=mg – dove “g” è l’accelerazione gravitazionale.
In questo caso ci muoveremo in un piano (x,y) dove la coordinata y rappresenta l’altezza e la x lo spostamento orizzontale.
Partiamo dalla formula (2.1) e consideriamo nulla la velocità iniziale, v(0)=0, e h=y(0) l’altezza al tempo 0. L’equazione diventa

y(t) = h – 0.5*g*t^2 (3.1)

Dove il segno meno indica che l’accelerazione è verso il basso.

Se invece il corpo parte con una velocità iniziale V generica, questa dovrà essere scomposta lungo gli assi nelle componenti Vx e Vy. Questo, ponendo x(0)=0, porterà alle equazioni:

x(t) = Vx*t (3.2)

y(t) = h + Vy*t – 0.5*g*t^2 (3.3)

Queste sono le leggi orarie per le coordinate x e y. Volendo possno essere combinate per dare una descrizione della traiettoria del corpo:

t=x(t)/V

–> y(t) = h + Vy*(x(t)/V) – 0.5*g*(x(t)/V)^2 (3.4)

che è l’equazione di una parabola. Questo ci permettere di concludere che un corpo in caduta libera segue solo due tipi di traiettorie: rettilinea se Vx=0 e parabolica se Vx≠0.

L’aspetto interessante di tutto ciò è come una forza diretta un asse non influenzi in alcun modo la posizione lungo l’altro.
Per intenderci un proiettile sparato ad altissima velocità da una pistola cadrà a terra nello stesso momento di uno che è stato semplicemente lasciato cadere.