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Moto accelerato

31 marzo 2008

In risposta alla domanda di un nostro lettore cercherò di fare chiarezza su uno dei concetti più semplici e più studiati nella fisica: il moto di un punto.

Come spesso accade in questa materia si procede per semplificazioni; vista la difficoltà di seguile le evoluzioni di un oggetto esteso ci concentriamo su un unico punto, detto punto materiale, (un ente fittizio, senza dimensione) che si muove lungo una linea retta. La situazione è ovviamente idealizzata ma ci permette di iniziare ad affrontare il tema con una certa semplicità.

Come prima cosa dobbiamo fissare un sistema di coordinate, per consuetudine chiamerò x la posizione del punto lungo la nostra retta e t l’istante di tempo in cui questa viene misurata. In termini matematici questo si indica con

x=x(t)

che mette in chiaro la dipendenza dello spazio dal tempo.

A questo punto si può procedere in vari modi, qui ne esporrò brevemente tre: uno più semplice, dove le formule saranno solo introdotte e spiegate; e due un po’ più tecnici in cui verranno ricavate. Alla fine tratteremo il caso di un corpo in caduta libera.

1. Approccio semplice

La formula di prima, x=x(t), non chiarisce in modo esplicito il legame tra posizione e tempo. Per procedere lungo questa via bisogna introdurre altre due funzioni. La velocitàv – cioè la varizione dello spostamento nel tempo (in quanto tempo percorro un determinato spazio); e l’accelerazionea – la variazione della velocità nel tempo, in formule

v=\frac{\Delta x}{\Delta t},\qquad a=\frac{\Delta v}{\Delta t}

dove la lettera \Delta indica la variazione.

Invertendo la definizione di velocità possiamo ricavale la prima equazione, se v è costante

\Delta x=v\Delta t\quad\Rightarrow\quad x-x_0=v(t-t_0)\quad\Rightarrow\quad x=x_0+v(t-t_0)

dove x_0 e t_0 indicano rispettivamente la posizione e l’istante iniziale. Questa equazione rappresenta un moto rettilineo uniforme in quanto il moto avviene in una sola direzione (una retta) e la velocità si mantiene costante. Il grafico di questo moto è una retta di pendenza v.

In caso di velocità variabile nel tempo dobbiamo considerare la forma esplicita della variazione, cioè il valore dell’accelerazione. Se questo valore è costante possiamo, in modo analogo a quanto fatto prima, invertire la definizione di a

\Delta v=a\Delta t\quad\Rightarrow\quad v-v_0=a(t-t_0)\quad\Rightarrow\quad v=v_0+v(t-t_0)

Questa formula è del tutto analoga alla precedente. Il nostro scopo ultimo è arrivare a una formula per la posizione, per ottenerla sostituiamo l’ultima equazione trovata nella prima

x=x_0+v(t-t_0)\quad\Rightarrow\quad x=x_0+[v_0 + a(t-t_0)](t-t_0)\\x=x_0+v_0(t-t_0)+a(t-t_0)^2

Questo risultato non è proprio corretto — chi è interessato al motivo può leggere le sezioni 2 e 3 — poiché manca un fattore \frac12 davanti all’accelerazione. La formula corretta è

x=x_0+v_0(t-t_0)+\frac12a(t-t_0)^2

che descrive il moto uniformemente accelerato. In questo caso il grafico di x(t) è un pezzo di parabola.

2. Approccio più tecnico

Raffiniamo le nostre prime definizioni di v ed a utilizzando il concetto di derivata

v(t)=\frac{dx(t)}{dt}\\a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d^2x(t)}{dt^2}

Se la funzione a(t) è costante per ricavare la posizione basta fare due semplici integrali – l’operatore inverso alla derivata.

x(t)=\int\int a\,dt=\int (a t+c_1)\,dt=a\frac{t^2}2+c_1t+c_2

Le costanti di integrazione c_1 e c_2 possono essere ricavate ponendo t=t_0=0 negli ultimi passaggi, si vede che corrispondono alla posizione e alla velocità iniziale. L’equazione che otteniamo e proprio quella del moto accelerato

x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2

3. Serie di potenze

Se la funzione posizione è analitica in un intorno di t_0 posso approssimarla con una precisione arbitraria utilizzando un espansione in serie di Taylor (cioè approssimare la funzione con un polinomio)

x(t-t_0)=x_0+\frac{dx(t)}{dt}\Big|_{t=t_0}(t-t_0)+\frac12\frac{d^2x(t)}{dt^2}\Big|_{t=t_0}(t-t_0)^2+O(t^3)

Se le derivate di ordine superiore al secondo sono nulle ottengo proprio l’equazione del moto uniformemente accelerato.

4. Caduta libera

Adesso analizzeremo a titolo esemplificativo una situazione molto comune, quella dei corpi sottoposti solamente alla forza gravitazionale — F=mg — dove g è l’accelerazione gravitazionale. In questo caso ci muoveremo in un piano (x,y) dove la coordinata y rappresenta l’altezza e la x lo spostamento orizzontale.
Partiamo dalla formula generale e consideriamo nulla la velocità iniziale, v_0=v(0)=0, e chiamiamo h l’altezza iniziale dell’oggetto. L’equazione diventa

y(t) = h-\frac12gt^2

dove il segno meno indica che l’accelerazione dovuta alla gravità è diretta verso il basso.

Se invece il corpo parte con una velocità iniziale v generica, questa dovrà essere scomposta lungo gli assi nelle componenti v_x e v_y. Da queste premesse, ponendo x(0)=0, si ottengono le equazioni:

x(t) = v_xt\\y(t) = h + v_yt - \frac12gt^2

Queste sono le leggi orarie per le coordinate x e y. Volendo possno essere combinate per dare una descrizione della traiettoria del corpo:

t=\frac{x}{v_x}\\y(x)=h+v_y\frac{x}{v_x}-\frac12g\left(\frac{x}{v_x}\right)^2

che è l’equazione di una parabola. Questo ci permettere di concludere che un corpo in caduta libera segue solo due tipi di traiettorie: rettilinea se v_x=0 e parabolica se v_x\neq 0.

L’aspetto interessante di tutto ciò è come una forza diretta un asse non influenzi in alcun modo la posizione lungo l’altro.
Per intenderci un proiettile sparato ad altissima velocità da una pistola cadrà a terra nello stesso momento di uno che è stato semplicemente lasciato cadere.

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6 commenti

  1. o cazzo c***o nn sn ancora abbastanza preparato per ste cose O.O


  2. no comment


  3. si possono fare previsioni sulla posizione di un corpo in un moto accelerato? se si come?


    • Se in un dato istante di tempo conosci i valori della posizione e della velocità dell’oggetto puoi inserirle nelle equazioni qui sopra e ricavare la traiettoria. Se il moto avviene in due o tre dimensioni devi usare un equazione per ogni dimensione (es x,y e z).

      Nella realtà le cose sono un po’ più complicate perché non tutte le forze sono semplici come la gravità (ma solo vicino alla superficie!).
      Ad esempio se ti sposti in aria o in acqua subisci una forza frenante che dipende da quanto vai veloce e questo porta ad accelerazioni non costanti.


  4. Spiegazioni troppo complicate.Un bravo insegnante dovrebbe prima spiegare il concetto semplicemente.Con quello che è scritto qui sopra si spaventa solo la gente…..


  5. T



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